Jeruk dan Anggur

Salah satu teman saya pernah memberikan teka teki tentang jeruk dan anggur di Facebook. Teka teki ini mungkin sudah sering terdengar di telinga kita. Teka teki kira-kira berbunyi seperti berikut :

Ada satu gelas jus jeruk dan satu gelas jus anggur. Kedua gelas memiliki ukuran yang sama. Kemudian diambil satu sendok dari gelas yang berisi jus anggur. Satu sendok jus anggur ini dituang ke gelas jus jeruk. Setelah itu, diambil lagi satu sendok dari gelas yang berisi jus jeruk dan cairan ini dituangkan ke gelas berisi jus anggur.

Pertanyaannya: Lebih banyak mana, cairan jus jeruk di gelas jus anggur atau cairan jus angur di gelas jus jeruk

Karena diskusinya cukup seru waktu itu, saya juga ikut memberikan jawaban atau mungkin lebih tepatnya teori (karena nggak ada yang memberikan keabsahan apakah jawaban saya itu benar atau salah). Jawaban saya agak berbeda dari yang lain yang rata-rata menjawab jumlahnya sama, atau jumlah jus jeruk di gelas anggur lebih banyak. Mungkin jika pembaca bisa memberikan keputusan salah-benarnya jawaban saya, saya akan sangat berterima kasih. Tentu saja, jika benar kenapa jika salah dimana kesalahannya. Saya juga tidak yakin dengan jawaban ini soalnya.

Jawaban saya adalah sebagai berikut:

Tanpa mengurangi keumuman, misal satu sendok anggur itu a dan satu sendok jeruk itu j. Akan tetapi, karena sama-sama sendok (asumsikan sendok makan) berukuran sama, berarti nilai a=j loh ya.

Jumlah di gelas sama masing-masing xa (gelas 1, jus anggur), dan xj (gelas 2, jus jeruk) dengan x elemen bilangan real > 1 menyatakan jumlah kelipatan sendok setiap gelas. (Kalo x < 1, nggak bisa disendok dong).

Langkah 1

Gelas 1 diambil satu sendok makan a, jadi sekarang volumenya: V(Gelas 1, Langkah 1) = (x-1)*a.

Gelas 2 ditambah satu sendok makan a, jadi sekarang volumenya: V(Gelas 2, Langkah 1) = xj + a.

Langkah 2

Ambil satu sendok makan dari gelas 2.
Sebelumnya sudah ada x+1 sendok makan di gelas 2 didapat dari tambahan 1 sendok makan di Langkah 1, sehingga komposisi a dan j di gelas adalah = (xj+a)/(x+1) per sendok makan. Dengan demikian di sendok makan sekarang nilainya sama dengan : (xj+a)/(x+1).
Setelah dikurangi satu sendok, gelas 2 sekarang tinggal: V(Gelas 2, Langkah 2) = (xj + a) – (xj+a)/(x+1).

Jumlah di sendok makan tadi ditambahkan ke Gelas 1, sehingga volumenya”: V(Gelas 1, Langkah 2) = (x-1).a + (xj+a)/(x+1)

Penyelesaian

Setelah disederhanakan, kedua kelas memiliki volume sebagai berikut:
V(Gelas 1, Langkah 2) = (x-1).a + a/(x+1) + xj/(x+1)
V(Gelas 2, Langkah 2) = xj – xj/(x+1) + a – a/(x-1)

Dari persamaan di atas dapat diamati bahwa,
Jumlah jeruk di Gelas 1 (bagian yang memiliki variabel j): sebut saja JEJE = xj/(x+1)
Jumlah anggur di Gelas 2 (bagian yang memiliki variabel a): sebut saja AGAG = a – a/(x-1)

Hipotesis 1 : JEJE < AGAG
Jika hipotesis ini dipakai diperoleh :
:: xj/(x+1) < a – a/(x-1), kemudian karena di awal diasumsikan a = j dan pasti a,j > 0
:: x/(x+1) < 1 – 1/(x-1)
Hasil akhir :: 2 / ((x+1)(x-1)) < 0

Hasil akhir di atas bisa dicek di wolframalpha. Dari grafik wolframalpha diperoleh yang memenuhi hipotesis 1 : –1 < x < 1, yang bertentangan dengan asumsi bahwa x>1.
Hipotesis ini tidak memberikan jawaban.

Hipotesis 2 : JEJE > AGAG
Perhitungan persamaan sama dengan perhitungan di atas, hanya dibalik tandanya.